已知某一平面圆锥曲线方程与某直线相交，其方程分别为
$$ \frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{n} = 1 $$
其中m，n不同时为负数，mn ≠ 0
$$ y = kx + b $$
联立方程整理可得
$$ (mk^2 +n)x^2+2kbmx+mb^2-mn=0 $$
判别式
$$ \Delta = 4mn(mk^2+n-b^2) $$
由一般一元二次方程两根之差表达式
$$ ax^2+bx+c=0 $$
$$ \left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}}=\sqrt{(\frac{b}{a})^2-4\frac{c}{a}}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}=\frac{\sqrt{\Delta}}{\left| a\right|} $$
代入原方程两根之差为
$$ \left|x_1 - x_2\right|=\frac{\sqrt{4mn(mk^2+n-b^2)}}{\left|mk^2+n\right|} $$
所以AB弦长为
$$ \left|AB\right|=\sqrt{k^2+1}\frac{\sqrt{4mn(mk^2+n-b^2)}}{\left|mk^2+n\right|} $$